Capital Asset Prices: A Theory of Market Equilibrium under Conditions of Risk

Soru tersine dönüyor

Önceki üç makale hep aynı yerden bakıyordu: ortada parasını yatıracak bir kişi var, ne yapmalı? Markowitz ona bir eğri çizdi, Roy o eğrinin üzerinde bir nokta seçti, Tobin de o noktanın herkes için aynı çıktığını gösterdi.

Sharpe aynı dünyaya bakıyor ama soruyu ters çeviriyor: herkes gerçekten böyle davranıyorsa fiyatlar nerede durur?

Kulağa küçük bir fark gibi geliyor ama öyle değil. Önceki üç sayfa bir yatırımcıya ne yapması gerektiğini anlatıyordu; bu sayfa piyasanın kendisinin ne yapacağını anlatıyor. Normatif bir teoriden pozitif bir teoriye geçiyoruz; seri boyunca yaşanan en büyük kırılma da burada oluyor.

Zorunlu adım

Tobin'de herkes aynı riskli portföyü tutuyordu. Şimdi bir adım daha atalım.

Bir an için piyasadaki bütün yatırımcıların elini birleştirdiğinizi düşünün. Ellerindeki riskli varlıkların toplamı, piyasada var olan riskli varlıkların tamamına eşit olmak zorunda; başka türlüsü mümkün değil, çünkü birinin sattığı hisseyi mutlaka bir başkası almıştır. Herkes aynı portföyü tutuyorsa ve o portföylerin toplamı piyasanın tamamına eşitse, o ortak portföy piyasanın kendisidir.

Denklemin solunda piyasa portföyü, sağında yatırımcıların servetleriyle ağırlıklandırılmış toplam talebi duruyor. Bu eşitlik bir tanım değil, bir denge koşuludur: ancak fiyatlar doğru yerde durduğunda sağlanır. Fiyatlar yanlış yerdeyse talep arza eşit çıkmaz, fiyatlar da piyasa temizlenene kadar oynamaya devam eder.

Simgeler sayfa boyunca aynı anlamda kullanılır:

Bir karışıklık uyarısı: yukarıdaki denklemdeki toplam işareti ∑ ile covariance matrisinin adı Σ aynı Yunan harfidir. İlki "topla" demektir ve altında bir sayaç taşır, ikincisi bir matrisin adıdır.

Aşağıdaki figürde bu hesap gerçekten yapılıyor. Onlarca yatırımcı var; her biri kendi risk toleransına göre Tobin'in kuralını uyguluyor, hiçbiri ötekine bakmıyor. Talepleri tek tek toplanıp piyasadaki arzla karşılaştırılıyor.

Figürde neye bakmanız gerektiğini önce söyleyeyim. Tolerans dağılımını açın, yatırımcılar doğru boyunca yayılsın; serveti birkaç kişide toplayın, noktaların büyüklüğü değişsin. Herkesi aynı toleransa getirdiğinizde bütün noktalar tek bir yerde toplanır, o yer de piyasa portföyünün ta kendisi çıkar. Ayarları nasıl değiştirirseniz değiştirin, doğrunun sınıra değdiği nokta yerinden kımıldamaz.

SıfırlaLinki kopyala

Figür parametreleri

Yatırımcı sayısı40Risk toleransının yayılımı0.60Servet eşitsizliği0.30Risksiz oran%3.0Varlık sayısı16Ortalama korelasyon0.45

Figürün altındaki sayı, yatırımcıların toplam talebi ile piyasadaki arz arasındaki farkı gösteriyor. O fark sıfırın etrafında, gözle görülemeyecek kadar küçük bir yerde duruyor — yani denge gerçekten kuruluyor.

Buradan çıkan sonuç şu: yatırımcıların dağılımı ne olursa olsun teğet portföy değişmiyor. Piyasa portföyü arzdan doğuyor, arz da kimin ne kadar riskten hoşlandığına bakmıyor. Tobin'in ayrışma teoremi denge seviyesinde böyle karşılık buluyor.

Hangi varsayımlar altında

Dengeyi gördünüz; şimdi onu hangi dünyada gördüğünüzü söylemem gerekiyor.

Bu kurulum dört şey varsayıyor ve dördünün de gerçek dünyada karşılığı yok:

• Homojen beklentiler. Herkes aynı μ ve aynı Σ'ya bakıyor. Oysa insanlar aynı varlık hakkında farklı şeyler düşünür; piyasanın var olma sebebi de büyük ölçüde budur.
• Tek dönem. Yatırımcı bugün karar veriyor, dönem sonunda her şey bitiyor. Arada karar değiştirmek, portföyü yeniden dengelemek, farklı vadelere bakmak diye bir şey yok.
• Sürtünmesiz piyasa. İşlem maliyeti, vergi, en küçük işlem büyüklüğü, likidite sınırı — hiçbiri hesaba girmiyor.
• Sınırsız borçlanma. Herkes aynı rf oranından istediği kadar borç alabiliyor ve verebiliyor. Figürde kaldıraçlı duran yatırımcılar tam olarak buna dayanıyor.

Sharpe bu varsayımların gerçekçi olmadığını kendisi de söylüyor. Teorinin değeri gerçekçiliğinden değil ürettiği sonuçtan geliyor: bu dördü kabul edildiğinde aşağıdaki iki sonuç zorunlu olarak çıkıyor.

Bir de şunu eklemek gerekiyor: aynı sonuca Lintner (1965) ve Mossin (1966) birbirlerinden bağımsız olarak varmıştır. Seri Sharpe üzerinden ilerlediği için ötekileri ayrıca işlemiyorum, ama sonucu tek bir kişiye yazmak haksızlık olurdu.

Riskin ölçüsü değişiyor

Birinci sonuç şu: bir varlığın riski, kendi varyansı değildir.

Sebebini dengenin kendisinde aramak gerekiyor. Herkes piyasa portföyünü tutuyorsa hiç kimse tek bir varlığı yalnız başına taşımıyor demektir. O varlık kendi başına ne kadar oynak olursa olsun, dalgalanmasının büyük kısmı portföyün içinde başka varlıkların ters yönlü hareketleriyle sönüyor. Geriye yalnızca varlığın piyasayla birlikte hareket eden kısmı kalıyor.

Bunu ölçen sayı beta:

Payda varlığın piyasa portföyüyle kovaryansı, paydada da piyasanın varyansı bulunur. Betası 1 olan bir varlık piyasayla aynı şiddette hareket eder; betası 0.4 olan bir varlık piyasa kadar oynamaz — kendi başına ne kadar dalgalı görünürse görünsün.

Bu bir tanım değişikliği değil, dengeden çıkan bir sonuçtur. Çeşitlendirmeyle yok edilebilen risk fiyatlanmaz, çünkü herkes onu zaten çeşitlendirip atmış durumdadır.

İki düzlem

Riskin ölçüsünün gerçekten değiştiğini görmek için aynı varlıklara iki ayrı düzlemden bakmak gerekiyor. Aşağıdaki figürde soldaki panelin yatay ekseni varlığın kendi standart sapmasını, sağdakinin yatay ekseni ise betasını gösteriyor. Dikey eksen ikisinde de aynı: beklenen getiri.

Burada da ayarlarla oynayın. Varlıkların ortak hareketini kısın, soldaki dağınıklık iyice açılsın. Sonra ortak hareketi artırın: iki panel birbirine yaklaşır, çünkü çeşitlendirilecek bir şey kalmadığında σ ile β neredeyse aynı şeyi söyler.

SıfırlaLinki kopyala

Figür parametreleri

Risksiz oran%3.0Varlık sayısı16Ortalama korelasyon0.45Bir varlığın kendine özgü riski1.00×

Soldaki panelde noktalar dağınık durur; onlara uydurulan kesikli doğru bir açıklama sunmaz, tam tersine açıklayamadığını itiraf eder. Aynı toplam riske sahip iki varlığın beklenen getirisi puanlarca ayrışabilir; dahası, daha riskli bir varlık daha az kazandırabilir.

Sağdaki panelde ise varlıklar tek bir doğrunun üzerinde sıralanır. Üstelik o doğru noktalara uydurulmuş bir doğru değildir; doğrudan risksiz orandan çıkar.

Sağdaki paneli tek başına çizseydim hiçbir şey göstermiş olmazdım. Asıl anlam, aynı noktaların bir düzlemde dağılıp öbüründe hizaya girmesinden çıkıyor.

Security Market Line

O doğrunun denklemi şu:

Doğrunun iki ucu da piyasadan gelir. Dikey ekseni kestiği yer risksiz orandır: betası sıfır olan bir varlık rf kazandırır. Eğimi ise piyasa risk primidir, yani bir birim beta taşımanın karşılığını gösterir.

Buradan sonra bir varlığın beklenen getirisini bulmak için o varlık hakkında tek bir sayı bilmek yeter. Kendi varyansını, öteki varlıklarla kovaryanslarını bilmeye gerek kalmaz; yalnızca betası yeterlidir.

Fiyatlanan şey riskin tamamı değil

Bunun neden böyle olduğunu görmenin en doğrudan yolu, her varlığın toplam varyansını ikiye ayırmaktan geçiyor: piyasayla açıklanan kısım ve geriye kalan.

Aşağıdaki figürde varlıklar toplam varyansa göre, yani "daha riskli olan daha çok kazandırır" beklentisinin sırasına göre dizilmiş. Bir varlığın kendine özgü riskini üç katına çıkarın: o varlığın çubuğu açık taraftan uzar, ama beklenen getirisi neredeyse yerinde kalır. Aynı anda iki düzlem figüründe de nokta sağa doğru kayar ve doğrunun üzerinde kalmayı sürdürür.

SıfırlaLinki kopyala

Figür parametreleri

Risksiz oran%3.0Varlık sayısı16Ortalama korelasyon0.45Bir varlığın kendine özgü riski1.00×

Çubuklar soldan sağa düzenli biçimde büyüyor. Beklenen getiri ise büyümüyor, zikzak çiziyor. O zikzağın neyi izlediğini çubukların koyu parçasında görüyorsunuz.

Burada bir düzeltme yapmam gerekiyor. Ders kitapları "idiosinkratik risk fiyatlanmaz" der; sonlu bir piyasada bu cümle tam olarak doğru değildir. Piyasa portföyü o varlığın kendisinden de bir miktar tutar — N varlık varsa kabaca 1/N'ini — ve o kadarını kimse çeşitlendirip atamaz. Figürdeki sayılar bunu gösteriyor: toplam varyans yüzde yüzün üzerinde artarken beklenen getiri yüzde birkaç oynuyor. Sıfır değil ama eklenen riskin yanında yok denecek kadar az kalıyor.

Gerçek bir piyasada N binlerle ölçülür. Ders kitabının cümlesi o limitte doğru hale gelir.

Ne değişti

Markowitz bir eğri çizip "iyi portföyler burada" dedi. Roy o eğrinin üzerinde bir nokta seçti. Tobin noktanın herkes için aynı olduğunu gösterdi.

Sharpe ise o ortak noktanın piyasanın kendisi olduğunu söyledi ve artık portföyü değil fiyatı sordu. Vardığı yer bir portföy tavsiyesi değil, bir fiyatlama denklemidir.

Dört makale arka arkaya okunduğunda ortaya kesintisiz tek bir argüman çıkıyor: bir eğriden bir denge teorisine.

Bundan sonrası

Bütün bu yapının altında bir varsayım duruyor ve şimdiye kadar hiç sorgulanmadı: μ ile Σ biliniyor.

Markowitz sayfasında bu bir kenar notuydu. Burada ise dört makalelik bir yapının altını oyuyor, çünkü denge fiyatları da betalar da doğrunun kendisi de o iki nesneden türüyor. İkisi tahmin edilmişse, üzerlerine kurulan her şey o tahminin hatasını taşıyor demektir.

Michaud 1989'da tam olarak bunu ölçüyor: optimizasyon girdilerdeki hatayı azaltmıyor, büyütüyor.

Serinin sıradaki kalemi de o olacak.

Denge fiyatlarından türeyen beklenen getiri ve kovaryans alınıp, teğet portföy fiyat denklemine hiç bakmayan bir çözücüyle yeniden hesaplandı; 900 rastgele geçerli girdide çıkan ağırlıklar piyasadaki arzla karşılaştırıldı. En büyük sapma 9.57e-14, aranan tolerans 1e-9.