Safety First and the Holding of Assets

Neyi başka türlü soruyor

Markowitz'in E-V kuralında gerekçelendirilmemiş bir varsayım var. Yatırımcının neden tam olarak ortalamayı ve variance'ı umursadığı söylenmez; kural bunu baştan kabul eder.

Roy bu soruyu hiç sormaz. Tamamen başka bir yerden başlar: yatırımcının asıl kaygısı dalgalanma değil, felakettir. Getirim şu eşiğin altına düşmesin.

Aynı yıl, aynı dergide, birbirinden habersiz. Vardığı yer ise Markowitz'in eğrisi üzerinde bir nokta.

Felaketten kaçınmak

Roy'un kurulumu bir tercih parametresi değil, farklı bir problem tanımı. Yatırımcı bir eşik belirler — d — ve getirinin bunun altına inme olasılığını en küçüklemek ister.

Bu eşik dışarıdan verilir. Emeklilik için gereken asgari birikim, bir borcun taksiti, sermayenin korunması gereken seviye. Roy bunun nereden geldiğini tartışmaz; yatırımcının kendi bildiği bir şey olarak bırakır.

Kurulumun çekiciliği, risk toleransı gibi soyut bir büyüklük istememesi. "Ne kadar riskten kaçınıyorsunuz" sorusunun cevabı yoktur; "hangi seviyenin altına düşemezsiniz" sorusununki vardır.

Dağılımı bilmeden

Ama hemen bir engel çıkar. Getirinin olasılık dağılımı bilinmiyor. Normal mi, çarpık mı, kuyrukları kalın mı — bilinmiyor.

Roy bu noktada dağılım hakkında hiçbir şey varsaymadan ilerler. Chebyshev eşitsizliği ona bir üst sınır verir:

Simgeler sayfa boyunca aynı anlamda kullanılır:

Sınırın gevşek olduğu baştan bellidir: hiçbir dağılım varsayılmadığı için, akla gelebilecek en kötü dağılıma göre konuşur. Ama bedeli de yoktur — yanlış bir dağılım varsayıp ona güvenmekten iyidir.

İndirgeme

Sağ tarafa bakın. σ² bölü (μ − d)². Bu ifadeyi küçültmek, kesrin tersini büyütmek demektir; karekök almak sıralamayı değiştirmediğine göre şunu maksimize etmeye indirgenir:

Sayfanın tamamı bu orana dayanıyor. Ve buradan sonrası geometri.

(σ, μ) düzleminde bir portföy bir noktadır. Bu oran, (0, d) noktasından o portföye çizilen doğrunun eğimidir:

Yani Roy'un problemi şuna dönüşür: eşikten başlayıp ulaşılabilir portföylere değen doğruların en diki hangisidir. En dik doğru, sınıra teğet geçen doğrudur; teğet noktası da aranan portföydür.

Eşiği aşağı çekin, doğru dikleşir ve teğet noktası sola kayar — daha az risk. Yukarı çekin, doğru yatıklaşır ve nokta sağa gider. Eşik ulaşılabilir en yüksek getirinin de üstüne çıkarsa çizilecek doğru kalmaz: hiçbir portföy o eşiği aşmıyordur ve Chebyshev'in söyleyeceği bir şey yoktur.

SıfırlaLinki kopyala

Figür parametreleri

Felaket eşiği d%-5.0Varlık sayısı8Ortalama korelasyon0.30Volatilite yayılımı0.8

Sınırın gevşekliği

Chebyshev'in bedelsiz olmadığı yer burası. Sınır gerçek olasılığın çok üstünde durur; çoğu ayarda 1'i bile aşar, ki "olasılık 1'den küçüktür" demek bir garanti değildir.

Karşılaştırma için getirinin normal dağıldığını varsayalım — Roy'un yapmadığı bir varsayım. O zaman felaket olasılığı doğrudan hesaplanabilir. İki eğri arasındaki mesafe, dağılım bilgisinden vazgeçmenin bedelidir.

Ama iki eğri de aynı portföyde dibe vurur. Bu bir tesadüf değil: ikisi de (μ − d)/σ oranının azalan bir fonksiyonudur, dolayısıyla sıralamayı aynı şekilde kurarlar. Değişen tek şey seçilen portföye biçilen olasılıktır.

Roy'un yaptığı şey olasılığı doğru tahmin etmek değil, doğru portföyü seçmek. Sınır boşaldığında bile — yani hiçbir sayı söylemediğinde — sıralama ayakta kalır.

SıfırlaLinki kopyala

Figür parametreleri

Felaket eşiği d%-5.0Varlık sayısı8Ortalama korelasyon0.30

Markowitz ile buluşma

Şimdi iki sayfayı üst üste koyun.

Markowitz "risk variance'tır" der ve beklenen getiriyle variance arasında bir denge kurar. Roy "risk felakettir" der ve bir eşiğin altına düşme olasılığını en küçükler. Ortak bir varsayımdan yola çıkmıyorlar; ikisinin problem tanımı da farklı.

Buna rağmen Roy'un çözümü, Markowitz'in etkin sınırının üzerinde bir noktadır. Sebep basit ve aslında zorunlu: (μ − d)/σ oranı, aynı σ için μ büyüdükçe artar. Yani sınırın altında kalan hiçbir portföy seçilemez — üstünde, aynı riskle daha çok getiren biri her zaman vardır.

Farklı motivasyon, aynı geometri. Roy'un eklediği şey, eğrinin neresinde durulacağını söyleyen bir kural: Markowitz'te bu okuyucuya bırakılmıştı.

Oranın tanıdıklığı

Maksimize edilen ifadeye bir daha bakın. Beklenen getiriden bir eşiği çıkarın, standart sapmaya bölün. Eşik yerine risksiz faiz oranını koyarsanız, bu ifade Sharpe oranıdır.

1952'de. Sharpe'ın 1964'teki çalışmasından on iki yıl önce, tamamen başka bir gerekçeyle — felaketten kaçınma — türetilmiş halde.

Markowitz yıllar sonra, portföy teorisinin kuruculuğunda Roy'un da payı olduğunu yazdı. Aynı yılın aynı sorusuna verilen iki bağımsız cevaptan biri seriye adını verdi, öteki uzun süre dipnotta kaldı.

Bundan sonrası

Roy'un bıraktığı yerde açık bir soru duruyor: d nereden geliyor?

Makale bunu yatırımcının öznel eşiği olarak bırakır. Ama piyasada getirisi kesin olan bir varlık varsa — devlet tahvili, mevduat — o varlık eşiği uydurma ihtiyacını ortadan kaldırır. Elinizdeki paranın bir kısmını oraya koyabiliyorsanız, karşılaştırmanın doğal sıfır noktası odur.

Bu fikir portföy seçimini yeniden kurar: riskli varlıklar arasındaki seçim ile ne kadar risk alınacağı kararı birbirinden ayrılır. James Tobin 1958'de tam olarak bunu yapacak.

Serinin sıradaki kalemi o.

Teğet noktasının kapalı form çözümü, türev kullanmayan bağımsız bir aramayla 1.500 rastgele geçerli girdide karşılaştırıldı. En büyük bağıl sapma 2.58e-15, aranan tolerans 1e-9.