1952 · The Journal of Finance
Portfolio Selection
Neye itiraz ediyor
Markowitz'in çıkış noktası bir eleştiridir. O tarihte yaygın olan kural, iskonto edilmiş beklenen getiriyi maksimize etmektir. Makale bu kuralın bir kusuru olduğunu gösterir: kural hiçbir zaman çeşitlendirilmiş bir portföyü tercih etmez. En yüksek beklenen getiriye sahip menkul kıymet hangisiyse, kural her şeyi ona koymayı söyler.
Oysa çeşitlendirme hem gözlenen hem makul bir davranıştır. Yatırımcılar portföy tutar, ve bunu yapmakla akılsızlık ettikleri söylenemez. Demek ki kuralda eksik olan bir şey var: kural riski hiç görmüyor.
E-V kuralı
Markowitz iki büyüklük tanımlar. Portföyün beklenen getirisi ağırlıklı toplamdır:
Variance ise yalnızca tek tek varlıkların variance'ına değil, aralarındaki covariance'a da bağlıdır:
Simgeler sayfa boyunca aynı anlamda kullanılır:
| Simge | Anlamı |
|---|---|
Xᵢ | i numaralı varlığın portföydeki ağırlığı. Toplamları 1'dir; short olmadığı için hiçbiri negatif olamaz. |
μᵢ | i numaralı varlığın beklenen getirisi |
σᵢⱼ | i ile j varlıklarının covariance'ı, yani birlikte ne kadar hareket ettikleri. i = j olduğunda varlığın kendi variance'ı çıkar. |
E | portföyün beklenen getirisi |
V | portföyün variance'ı |
μ | bütün μᵢ değerlerini bir arada tutan vektör |
Σ | bütün σᵢⱼ değerlerini bir arada tutan matris; covariance matrisi |
Bir karışıklık uyarısı: denklemlerdeki toplam işareti ∑ ile covariance matrisinin adı Σ aynı Yunan harfidir. İlki "topla" demektir ve altında bir sayaç taşır, ikincisi bir matrisin adıdır.
İkinci ifadedeki çapraz terimler makalenin asıl katkısıdır. Yatırımcı E'yi ister, V'den kaçınır; ikisi arasında bir değiş tokuş vardır. E-V kuralı bu değiş tokuşu kabul eder ve şunu söyler: aynı E için daha düşük V veren bir portföy varsa, ötekini seçmenin bir gerekçesi yoktur.
Üç varlıklı geometri
Üç varlıkta X₃ = 1 − X₁ − X₂ olduğu için bütün portföyler bir düzleme iner ve ulaşılabilir küme bir üçgen olur. Aynı beklenen getiriyi veren portföyler doğrular üzerinde, aynı variance'ı verenler eş merkezli elipsler üzerinde durur. Elipslerin merkezi minimum variance noktasıdır.
Makale okuyucuya üç durumu kendisi kurmasını söyler. Minimum variance noktası üçgenin olabilir; güçlü korelasyon altında çıkar ve efficient set üçgenin sınırına oturur. İki varlığın beklenen getirisi eşitse () isomean doğruları sınıra paralel hale gelir.
Etkin sınır
Aynı kümeyi bir de sonuçların diliyle çizebiliriz: yatay eksende variance, dikeyde beklenen getiri. Efficient set burada bağlı parabol parçalarından oluşan bir eğriye dönüşür; parçaların birleştiği noktalar, bir varlığın portföye girdiği ya da çıktığı yerlerdir.
Numaralı noktalar tek tek varlıkları gösterir. Eğrinin onların solundan geçmesi makalenin çekirdek iddiasıdır: aynı beklenen getiri daha düşük variance ile alınabiliyor. Varlıklar olduğunda kazanç en büyüktür; altında eğri varlıklara yaklaşır ve çeşitlendirmenin getirisi erir.
Çeşitlendirme neden "doğru şekilde" olmalı
Makalenin 89. sayfadaki uyarısı bugün de sık atlanır: çeşitlendirme bir sayı meselesi değildir. Aynı sektörden altmış menkul kıymet, farklı sektörlerden altmış menkul kıymet kadar çeşitlendirilmiş sayılmaz.
Sebep yukarıdaki V ifadesinde duruyor. Portföy büyüdükçe tek tek variance terimlerinin ağırlığı düşer ama covariance terimlerinin sayısı kareyle artar; belli bir noktadan sonra portföyün variance'ını belirleyen şey artık varlıkların kendi variance'ları değil, aralarındaki covariance'tır. Aynı sektörde covariance yüksektir, dolayısıyla eklenen her yeni kâğıt giderek daha az şey katar.
Bu yüzden makale yalnızca "çeşitlendir" demez, "doğru türden çeşitlendir" der.
Ne çözmüyor
Makale boyunca μ ve Σ biliniyor varsayılır. Markowitz bunu saklamaz; son sayfada seçimin ilk aşamasının — gözlem ve deneyimden inanışlara varmanın — bu çalışmanın dışında olduğunu kendisi söyler.
Ama pratikte o iki girdi de örnekten tahmin edilir ve tahmin hatalıdır.
Tahmin hatası
Aşağıdaki deney hatayı üç kaynağa ayırır: yalnızca beklenen getirilerde, yalnızca variance'larda, yalnızca covariance'larda hata olduğunda ne kaybediliyor. Ölçü nakit eşdeğer kaybı; örnekten tahmin edilen girdilerle kurulan portföy, gerçek parametreler altında değerlendiriliyor.
Sonuç makalenin kurduğu çerçeveyi zayıflatmaz, sınırını gösterir: bu ayarlarda kaybın ezici çoğunluğu μ'den gelir. Oranın ne kadar keskin olduğu risk toleransına bağlı — aşağıda buna dönüyoruz — ama sıralama hiç değişmiyor. kayıp büyür, küçülür ama kaybolmaz. Karşılaştırma için hiç optimizasyon yapmayan 1/N portföyü de çizili.
Bu deney makalenin birebir kopyası değil ve olmaya da çalışmıyor. Chopra & Ziemba girdilere kontrollü bir bozulma uygular: her birine aynı bağıl hatayı verip "eşit hata altında hangisi daha pahalı" sorusunu izole eder. Buradaki hata ise gerçek örneklem hatasıdır — T dönemlik bir örnek üretilir ve örnek tahmincileri kullanılır. Sorulan soru farklı: "T dönemlik veriyle çalışırsam ne kaybederim". Bu sayfanın bağlamı için doğru olan ikincisi, çünkü mesele girdilerin nereden geldiği.
Fark sonuca yansır. Buradaki oran iki etkiyi birlikte taşır: optimizasyonun her girdiye duyarlılığı ve her girdinin örnekten ne kadar hassas tahmin edilebildiği. Ortalamanın standart hatası σ/√T iken varyansınki √(2/(T−1)) mertebesindedir; ikisi aynı hızda düzelmez.
Oran ayrıca evrensel bir sabit değil, risk toleransına duyarlı. Yukarıdaki slider'ı 0,25'e çekerseniz sıralama literatürün sık alıntılanan 11:2:1'ine yaklaşır; 1,0'a çekerseniz μ'nün üstünlüğü çok daha keskinleşir. Değişmeyen tek şey sıralamanın kendisidir: μ, varyanstan; varyans, kovaryanstan pahalıdır.
Sonraki elli yılın literatürü büyük ölçüde bu boşluğa verilen cevaplardır: shrinkage, Black-Litterman, resampling, risk paritesi.
Bundan sonrası
Markowitz'in bıraktığı yer şurası: portföy seçimi artık bir sezgi meselesi değil, iki büyüklük arasında tanımlı bir problem. "Hangi portföy iyi" sorusunun cevabı tek bir portföy değil, bir eğri; o eğrinin neresinde duracağınız size kalmış. Çeşitlendirme de bir tavsiye olmaktan çıkıp aritmetiğin sonucu haline geliyor.
Ama kurulum iki soruyu açıkta bırakıyor. Birincisini yukarıda gördük: girdiler nereden geliyor. İkincisi daha sinsi — neden E ve V? Yatırımcının tam olarak bu iki büyüklüğü umursaması Markowitz'te bir varsayım, bir sonuç değil.
Aynı yıl, aynı sorunun etrafında dolaşan başka biri daha vardı. A. D. Roy işe bambaşka bir yerden başlar: yatırımcı ortalama ve variance'la değil, felaketten kaçınmakla ilgilenir. "Getirim şu eşiğin altına düşmesin" diye kurulan problem, şaşırtıcı biçimde Markowitz'inkine çok yakın bir yere varıyor. Markowitz yıllar sonra, portföy teorisinin kuruculuğunda Roy'un da payı olduğunu yazacaktı.
Serinin sıradaki kalemi o.
Kısıtsız durumda Critical Line Algorithm çıktısı, Merton (1972) analitik çözümüyle 2.000 rastgele geçerli girdide karşılaştırıldı. En büyük bağıl sapma 3.79e-12, aranan tolerans 1e-9.